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公務員試験の範囲は極めて広いため、全科目できないと合格できないということはありません。そんなこといっていたら、全国のごく秀才の大学生しか合格できないはずですが、現実には全くそんなことはありません。ですので、英語や数的処理ができないからといって、合格できないとは言い切れません。
しかし、どのような種類の公務員試験でも、英語や数的処理は、比較的問題数が多く出題されます。そのような科目について全く得点することが期待できないということは、その他の分野で相当高い点数を獲得する必要があります。それゆえ、『苦手であっても、出題数の多い分野は、捨てないでしっかり勉強する』ことが大切です。逆に、範囲が広い公務員試験では、出題が1〜2題しかない分野も多く、そこが自分の苦手な分野であれば捨ててしまい、得意な分野で確実に点数を重ねる方が得策です。

語学力を生かせる公務員の職種としては、外務省や航空管制官などが、まず挙げられるでしょう。しかし、これらの試験はいずれも比較的難関です。もし、公務員に魅力を感じているけれど、「どうしてもこの職種に就きたい」という気持ちがまだないのであれば、視野を広げて受ける試験を考えてみてほしいと思います。ほかにも、語学力を生かせる機会のある公務員の職種は存在します。
たとえば、警察官になったとしても、外国語を活用する機会は出てくるでしょう。なぜなら、日本に外国人が増加し、国際化が進む今日において、外国人による犯罪、または、外国人が被害にあう犯罪も増えているからです。
また、県庁や市役所の職員になれば、窓口等にきた外国人市民への対応をする機会があるかもしれません。どの行政機関でも英語以外の中国語、ロシア語などのマイナー言語を話せる人が不足していると一般的にいわれています。また、警察官や市町村の職員の試験では、語学ができる人をとくに採用する制度を設けている所があります。
もっとも、外国語だけができても、なかなか公務員になることはできませんし、仮になれたとしても、公務員としての仕事をこなすこともできません。講座を受講して、幅広い知識を得ることをお勧めします。

地方上級の試験は、大きく分けて、一般教養しかないところと（だいたい小さな地方公共団体）、専門科目（比較的大きな地方公共団体）があるところがあります。
地方上級の過去問集を購入する場合、専門科目を含むものであるか、一般教養のみであるのか確認したほうがいいと思います。