７． 正準相関分析
２つの量的変量ｘ1とｘ2がある時、この２変量間の関係を調べたいときには、２変量の標本を幾つか集め、その相関係数を求めることにより２変量間の関係の度合を調べることができる。しかし変量がｘ1・ｘ2・ｘ3の３変量になったとき、ｘ1・ｘ2の組とｘ3の関係をみたいとか、変量がｘ1・ｘ2・ｘ3・ｘ4の４変量で、ｘ1・ｘ2の組とｘ3・ｘ4の組の関係をみたいとき、そのままでは相関関係をみることができない。そこで、ｘ1・ｘ2の組とｘ3の関係をみたいときには、まずｘ1・ｘ2のデータを合成して、その合成した変量とｘ3との相関係数を求めて、関係をみるようにする。このようにｘ1・ｘ2を合成して得られる変量を正準変数と呼び、得られる相関係数を正準相関係数と呼ぶ。
７．１ 正準相関係数を求める。
いま下の表のように４変量（ｘ1・ｘ2・ｘ3・ｘ4）の標本データがあるとする。
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標本NO |
Ｚ |
Ｗ |
||
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ｘ1 |
ｘ2 |
ｘ3 |
ｘ4 |
|
|
１ ２ … ｎ |
ｘ11 ｘ12 … ｘ1n |
ｘ21 ｘ22 … ｘ2n |
ｘ31 ｘ32 … ｘ3n |
ｘ41 ｘ42 … ｘ4n |
変量ｘ1・ｘ2の組とｘ3・ｘ4の組がどれくらい関係があるかを調べる。
ｘ1・ｘ2を合成して得られる変量をＺ、ｘ3・ｘ4を合成して得られる変量をＷとすると、
この時、Ｚ・Ｗを正準変量といい、ｌ・ｍは正準変量の係数である。この正準変量ＺとＷの相関係数（正準相関係数）を最大にするような、ｌ・ｍを求める必要がある。
（合成変数間の関係をできるだけ残すように集約させなければならないので）
正準相関分析では、正準変量Ｗが１変量の時には、重回帰分析と同じとなる。また、正準変量Ｗが１変量で２群以上に分かれているときには、判別分析と同じとなる。
一般に、ｐ個の変数とｑ個の変数間には、ｐ・ｑ個の相関関係を求めることができるが、これはｐ個の正準相関に集約することができる。（但しｐ≦ｑ）
正準相関係数を求める。
この分散をＳZZ・ＳWW、共分散をＳZWとすると、ＺとＷの相関係数ｒZWは
である。
合成変量ＺとＷのそれぞれの分散を１・平均を０と仮定する。標準化された変量ｘ1〜ｘ4を使用して、それぞれの分散共分散を求める。
ＳZZ＝１、ＳWW＝１の条件下で、このｒZWを最大にするようなｌ･ｍを求める。
４変量ｘ1･ｘ2･ｘ3･ｘ4の単相関係数をみると
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ｘ1 ｘ2 |
ｘ3
ｘ4 |
|
ｘ1 ｘ2 |
ｒ11
ｒ12 ｒ21
ｒ22 |
ｒ13
ｒ14 ｒ23
ｒ24 |
|
ｘ3 ｘ4 |
ｒ31
ｒ32 ｒ41
ｒ42 |
ｒ33
ｒ34 ｒ43
ｒ44 |
なおｒ11＝ｒ22＝ｒ33＝ｒ44＝1
ここで
前の行列は
Ｒ12･ｍ＝λ･Ｒ11･ｌ
Ｒ21･ｌ＝μ･Ｒ22･ｍ と表される。
これから
ｌ’･Ｒ12･ｍ＝λ･ｌ’･Ｒ11･ｌ＝λ･ＳZZ＝λ
ｍ’･Ｒ21･ｌ＝μ･ｍ’･Ｒ22･ｍ＝μ･ＳWW＝μ
ｌ’･Ｒ12･ｍ＝ｍ’･Ｒ21･ｌ＝ＳZW
λ＝μ＝ＳZW＝ｒZW
Ｒ21･ｌ＝μ･Ｒ22･ｍ＝λ･Ｒ22･ｍ
λ･ｍ＝Ｒ22-1･Ｒ21･ｌ
また Ｒ12･ｍ＝λ･Ｒ11･ｌ
λ･Ｒ12･ｍ＝λ2･Ｒ11･ｌ
Ｒ11-1･Ｒ12･Ｒ22-1･Ｒ21･ｌ＝λ2･ｌ
ｌ≠０
｜Ｒ11-1･Ｒ12･Ｒ22-1･Ｒ21−λ2Ｅ｜＝０
｜Ｔ−λ2Ｅ｜＝０
この固有方程式から、λ2を得る。第１正準相関は値の大きい方のλ値を採用する。
いま、λ1≧λ2 とすると、λ1を使用して固有ベクトルを求める。
７．２ 正準相関係数の検定
正準相関係数の個数は、ｐ個の変数とｑ個の変数があると（ｐ≦ｑとする）、ｐ個の正準相関係数を求めることができる。しかし、この全てを使用するとは限らない。そこで、母集団において有効な正準相関係数の個数を決めるための検定を行う。この検定をバートレットの検定という。
いま、ｐ個の変数とｑ個の変数があり（ｐ≦ｑ）、ｐ個の固有値（λ）が、
λ12≧λ22≧…≧λp2と得られたとする。
この時、「１番目からｋ番目までの固有値は０である。」という仮説下で、検定統計量をχ2 とすると、
検定統計量 χ2 ＝−｛ｎ−0.5×（ｐ＋ｑ＋3）｝･ｌｏｇe（Λ）
は、自由度ｐ･ｑのχ2 分布に漸近的に従う。
検定をおこなう。
(1)仮説をたてる
帰無仮説
Ｈ0：ρj＝０ （j＝1,2,…k）
（１からｋ番目迄の正準相関係数＝０）
対立仮説
Ｈ1：ρj≠０ （j＝1,2,…k）
（１からｋ番目迄の正準相関係数≠０）
(2)検定統計量χ2 は、自由度ｐ･ｑのχ2 分布に従う
(3)有為水準αで検定する
χ2 ≧χ2p･q であれば、仮説を棄却する。つまり、第１正準相関係数から第ｋ正準相関係 数まで、０ではない。
また、ｋ＋１番目の正準相関係数の検定については、
検定統計量 χ2k ＝−｛ｎ−０．５（ｐ＋ｑ＋３）｝・ｌｏｇe（Λk）
これを利用してｋ＋１番目の正準相関係数についての検定を行うことができる。
８． 正準相関分析例題
１０社についてその知名度・販売力・研究力・応用力について１０点満点で評価をし、下のような表を得たとする。
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標本NO |
知名度 Ｘ1 |
販売力 Ｘ2 |
研究力 Ｘ3 |
応用力 Ｘ4 |
|
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ |
２ ５ ７ ９ ８ ４ ２ ６ ３ ６ |
３ ４ ６ ８ ５ ３ ３ ５ ４ ７ |
４ ６ ８ ８ ７ ２ ３ ７ ５ ８ |
３ ３ ５ ９ ６ ５ ４ ７ ４ ６ |
いま上記のように４変量ある時、知名度（Ｘ1）と販売力（Ｘ2）を合成した営業力と、研究力（Ｘ3）と応用力（Ｘ4）を合成した技術力とがどの様な関係にあるか正準相関係数を求めて調べてみる。知名度（Ｘ1）と販売力（Ｘ2）の正準変量をＺ、研究力（Ｘ3）と応用力（Ｘ4）の正準変量をＷとする。それぞれの正準変量をＺ＝ｌ1･Ｘ1＋ｌ2･Ｘ2 Ｗ＝ｍ1･Ｘ3＋ｍ2･Ｘ4 とする。
８．１ 重み係数を求める。
相関係数行列を求める。
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|
Ｘ1 |
Ｘ2 |
Ｘ3 |
Ｘ4 |
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Ｘ1 |
1.000 |
0.842 |
0.815 |
0.792 |
|
Ｘ2 |
0.842 |
1.000 |
0.882 |
0.792 |
|
Ｘ3 |
0.815 |
0.882 |
1.000 |
0.577 |
|
Ｘ4 |
0.792 |
0.792 |
0.577 |
1.000 |
Ｒ11-1・Ｒ12・Ｒ22-1・Ｒ21 を求めると
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|
第1成分 |
第２成分 |
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固有値 |
0.936 |
0.0154 |
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相関係数 |
0.967 |
0.124 |
|
重み係数 |
Ｘ1
Ｘ2 Ｘ3 Ｘ4 0.378 0.660 0.6445 0.478 |
Ｘ1
Ｘ2
Ｘ3 Ｘ4 1.817 −1.734 −1.04
1.13 |
８．２ 正準変量を求める。
実際に求めた第１正準変量の重み係数を用いて正準変量のＺ1とＷ1 求める。
標準化した値を使用して、第１正準変量のＺ1とＷ1を求めると上の表のようになる。
このＺ1とＷ1の相関係数を求めると ＲZW ＝0.9679 となり第１正準相関係数に一致。
次に、第２正準変量の重み係数を用いて正準変量のＺ2とＷ2 求める。
第２正準変量のＺ2とＷ2を求めその相関係数を求めると0.124となり同様に第２正準相関係数に一致している。
それぞれの正準変量間の相関係数を求めると、Ｚ1とＺ2 Ｚ1とＷ2 Ｗ1とＺ2 Ｗ1とＷ2のいずれにおいてもその相関係数は０となっている。
８．３ 構造係数を求める。
構造係数は、各変量と正準変量間の相関係数であるから、標準化した各変量と正準変量と の相関係数を求める。
標準化した変量Ｘ1 と第１正準変量Ｚ1の相関係数をＲX1−Z1 とすると
ＲX1−Z1 ＝ 0.9343
同様に求めていくと
ＲX2−Z1＝ 0.9791
ＲX3−W1＝ 0.204 ＲX4−W1＝ 0.8501
標準化した変量Ｘ1 と第２正準変量Ｚ2の相関係数をＲX1−Z2 とすると
ＲX1−Z2 ＝ 0.3564
同様に求めていくと
ＲX2−Z2＝
−0.2033 ＲX3−W2＝−0.3910 ＲX4−W2＝ 0.5266
８．４ 正準相関係数の検定を行う。
（１）母集団における第１正準相関係数の検定を行う
母集団における第１正準相関係数をρ1 とする。
(1)仮説をたてる
帰無仮説：Ｈ0 ρ1＝０
対立仮説：Ｈ1 ρ1≠０
(2)検定統計量χ2 を求める
固有値： λ1＝0.9679 λ2 ＝0.1243 標本数（ｍ）：10
変量数（ｐ）：2
χ2=18.053 ＞
χ24（0.05）＝9.49
棄却域にはいる。帰無仮説を棄却する。よって対立仮説（Ｈ1）：ρ1≠０を採択する。
母集団における第１正準相関係数は０ではないといえる。
（２）母集団における第２正準相関係数の検定を行う
母集団における第２正準相関係数をρ2 とする。
(1)仮説をたてる
帰無仮説：Ｈ0 ρ2＝０
対立仮説：Ｈ1 ρ2≠０
(2)検定統計量χ2 を求める
固有値： λ1＝0.9679 λ2 ＝0.1243 標本数（ｍ）：10
変量数（ｐ）：2
χ2=0.102 ＜
χ21（0.05）＝3.84
棄却域に入らない。よってρ2＝０という帰無仮説を棄却できない。
以上から、採用する正準相関係数は第１正準相関係数までとする。
第１正準相関係数＝０．９６７９であり、今回実施した会社の営業力（知名度と販売力の合成した変量）と技術力（研究力と応用力の合成した変量）の相関は非常に高いと考えられる。